科学

ゼロは発見された数字？インドが生んだ大発明

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紀元前のバビロニア、空いた桁の印

話は約3700年前のメソポタミアから始まります。バビロニアの人々は60進法の位取りで数を書いていました。ところが1000年以上のあいだ、ゼロにあたる記号を持っていませんでした。

紀元前1700年ごろの粘土板では、空いた桁をただ詰めて書いています。私たちの数字で言えば、2106と216を区別できないような状態です。読む人は前後の文脈から、どちらの意味かを判断するしかありませんでした。

やがて空いた位置に印を置く工夫が現れます。紀元前700年ごろとされるキシュの粘土板には、かぎ形の印を3つ並べた例があります。紀元前400年ごろになると、くさび形の記号2つで空いた桁を示す書き方が広まりました。

ただしこの印は、数の途中にしか置かれませんでした。末尾には使われなかったため、「23」と「230」にあたる数は書き分けられないままです。この時点のゼロは、数ではなく「ここは空いている」という目印でした。

2世紀〜6世紀、記号はあっても数ではない

紀元2世紀、ギリシャ系の天文学者プトレマイオスは『アルマゲスト』で、バビロニア式の60進法に「O」の形の空位記号を組み合わせました。数の末尾にも置いた点で、バビロニアより一歩進んでいます。それでも計算の対象ではなく、空欄の印という役割は同じでした。

インドでは500年ごろ、数学者アリヤバータが位取りの仕組みを使って計算していました。彼はゼロの記号を使わず、桁の位置を「カ（kha）」という言葉で表しています。

位取りの値打ちは、ローマ数字と比べるとよくわかります。ローマ数字では1977をMCMLXXVIIと書くため、桁をそろえた筆算ができません。0から9までの10種類の数字と位取りがあれば、桁をそろえて機械的に計算できます。この仕組みを成り立たせるには、空いた桁を埋める記号が欠かせません。

なお、遠く離れた中米のマヤでも、665年までには20進法の位取りとゼロの記号が使われていました。ゼロの発想は、1か所だけで生まれたものではありません。

628年、ブラフマグプタがゼロを数にした

ブラフマグプタは598年に生まれ、インド西部のビッラマーラ（現在のビンマール）で30歳のときに『ブラーフマスプタシッダーンタ』を著しました。全25章の天文学書で、その中にゼロの計算規則が書かれています。

彼はゼロを「ある数から同じ数を引いた結果」と定めました。ある数にゼロを足しても引いても、その数は変わらない。どんな数もゼロを掛ければゼロになる。「何もない」を計算の答えとして認めたところに、この本の新しさがあります。

ただしゼロで割る計算だけは、うまく説明できませんでした。彼は「ゼロをゼロで割るとゼロ」と書いていますが、これは今では誤りとされています。830年ごろの数学者マハーヴィーラは「ゼロで割っても数は変わらない」と書き、これも誤りでした。500年以上あと、12世紀のバースカラ2世は「ゼロで割ると無限大になる」と考えましたが、これも矛盾を生みます。ゼロで割る問題は、何世代もの数学者を悩ませ続けました。

683年と876年、石に刻まれたゼロ

本に書かれた規則とは別に、実際に使われたゼロの証拠も残っています。長く「年代のはっきりした最古のゼロ」とされてきたのは、インド中部グワリオルの寺院にある876年の碑文です。碑文には187×270ハスタの庭と、毎日50個の花輪を納める約束が記されています。270と50のゼロは、今の数字とほとんど同じ形です。

ところが、これより古いゼロが東南アジアで見つかっています。カンボジアのサンボールで出た碑文には、サカ暦605年（西暦683年）という日付が刻まれています。1931年にフランスの研究者ジョルジュ・セデスが、その真ん中の記号を空位のゼロだと結論づけました。スマトラ島の3つの石碑にも、683・684・686年にあたる日付が残っています。グワリオルより約200年古いゼロです。

写本をめぐる騒ぎもありました。1881年、現在のパキスタン北西部のバクシャーリー村で、農民が数学の写本を掘り出しました。オックスフォード大学のボドリアン図書館が所蔵するこの写本は、2017年の放射性炭素年代測定で、1枚が224〜383年と出ました。「最古のゼロより500年古い」という発表は世界を駆けめぐりました。

しかし研究者からは、発表が通常の査読を経ずに行われたことや、測定の前提への疑問が相次ぎました。同大学は2018年に測り直し、2024年10月に結果を公表しています。新しい年代は799〜1102年で、224〜383年とされた1枚も931〜1032年に改められました。最古のゼロという説明は取り下げられています。

アラビアを経てヨーロッパへ

インドで育ったゼロと位取りは、アラビア世界の学者を通じて西へ伝わりました。バグダッドで活躍したフワーリズミーは813年にインド数字で天文表を作り、825年ごろにはゼロを含む計算法を説明する本を書いています。この本は12世紀にラテン語へ訳されました。

名前もこの道のりを映しています。サンスクリット語で「空」を意味するシューニャがアラビア語でスィフルと訳され、イタリア語を経て英語のzeroになりました。英語の文献にzeroが現れる最も古い例は1598年です。

ヨーロッパに広く紹介したのは、イタリアのレオナルド・フィボナッチです。1202年の『算盤の書』で、インドの9つの数字と0の記号を示し、ローマ数字より計算に便利だと説きました。それでも彼は、0を他の数字とは別の「記号」と呼んでいます。

受け入れは急には進みませんでした。1500年代に3次・4次方程式を解いたカルダーノも、ゼロを使わずに議論しています。ヨーロッパでゼロが当たり前に使われ出したのは、強い抵抗を経た1600年代のことです。

年表で見るゼロの道のり

並べてみると、空いた桁の印からゼロが数になるまで、約1000年かかっています。さらにその数がヨーロッパの日常に根づくまで、もう1000年近くかかりました。

次に0と書くとき、その小さな丸がバビロニアからインド、アラビアへと旅してきたことを思い出してみてください。

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