科学

黄金比とは？1.618という数と、美しさの俗説

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黄金比とは、どんな数？

1本の線を長い部分と短い部分に分けます。全体と長い部分の比が、長い部分と短い部分の比に等しくなる。この分け方が黄金比で、ユークリッドの『原論』では「外中比」と呼ばれています。

条件を式にして解くと、（1＋√5）÷2という数が出てきます。小数で書くと1.6180339887…と、どこまでも割り切れない無理数です。ギリシャ文字のφ（ファイ）で表すことが多く、発明家マーク・バーが1910年ごろまでに使い始めました。

φには変わった性質があります。2乗すると1を足したのと同じ2.618…になり、逆数は1を引いたのと同じ0.618…になります。正五角形でも、対角線と1辺の長さの比がちょうどφです。『原論』がこの比を使ったのも、正五角形や正十二面体を作図するためでした。

「黄金」と呼ばれ始めたのはいつ？

ユークリッド自身は、この比を黄金とは呼んでいません。数学者ルカ・パチョーリは1498年までに『神聖比例論』を書き上げ、この比を「神聖な比」と呼びました。1509年にヴェネツィアで印刷された本には、レオナルド・ダ・ヴィンチの絵をもとにした60点ほどの木版画が入っています。

1609年には天文学者ケプラーが手紙の中で、フィボナッチ数列との関係を書き残しました。ケプラーは幾何学の2つの宝として、ピタゴラスの定理とこの比を挙げ、後者を「貴重な宝石」とたとえています。

「黄金分割」という言葉が印刷物に現れた最初の例は、1835年に出たマルティン・オームの数学書の脚注です。1826年の初版には、この脚注はありませんでした。定義から2000年以上たってからついた呼び名なのです。

フィボナッチ数列とどう関係するの？

フィボナッチ数列は、前の2つを足して次の数を作る数列です。1・1・2・3・5・8と続きます。隣り合う数の比をとると、黄金比に近づいていきます。

• 8÷5＝1.6
• 13÷8＝1.625
• 21÷13＝1.615…
• 34÷21＝1.619…
• 89÷55＝1.6181…

値は1.618の上と下を交互に行き来しながら、少しずつ近づきます。ただ、その近づき方はゆっくりです。φを分数の入れ子で表すと、すべての段が1になるもっとも単純な形になり、そのせいで分数による近似が進みにくいと説明されています。ここまでは、すべて証明された数学の話です。

本当に人は黄金比を美しいと感じるの？

美の基準説の出どころは、1876年に心理学者グスタフ・フェヒナーがまとめた実験です。いろいろな比の長方形から好ましいものを選ばせたところ、黄金比のあたりに好みが集まったと報告しました。

ところが、その後の追試は結果がそろいません。1997年、ドイツのオルデンブルク大学のホルガー・ヘーゲ氏が追試をしました。フェヒナーと同じ比の白いカードを黒い台に並べ、できるだけ元の実験に近づけたものです。方法を少しずつ変えた3つの実験のどれでも、黄金比はもっとも好まれる比になりませんでした。

ヘーゲ氏は、フェヒナーが見た好みの山を「実験の条件が生んだ見かけの結果か、まだ分からない要因によるもの」と見ています。結論は「黄金分割仮説は神話である」。論文の題は「黄金分割仮説――その最後の葬儀」でした。

パルテノン神殿やピラミッドは黄金比でできている？

1992年、数学者ジョージ・マーコウスキー氏が「黄金比についての誤解」という論文を発表しました。数学的な性質はおおむね正しく語られている。しかし美術や建築、文学などで語られる内容の多くは誤りか、大きく誤解を招くものだという結論です。

パルテノン神殿は、寸法の資料ごとに数字が違います。マーコウスキー氏によると、著者ごとに測る点が違うためです。ある建築史の本の寸法では、幅÷高さも長さ÷幅も約2.25でした。基壇から屋根の頂点までの高さを使う別の資料では、幅との比は約1.71です。神殿を黄金長方形に収める図でも、建物の一部は長方形の外にはみ出しています。

ギザの大ピラミッドについてよく引かれる「ヘロドトスが書き残した」という話も、ヘロドトスの原文には見当たりません。マーコウスキー氏は、この解釈が1859年に出たジョン・テイラーの本までさかのぼると紹介しています。

測る候補が多ければ、何かの数は見つかります。マーコウスキー氏は、ピラミッドの底面の周と高さの比が2π（約6.28）の誤差2％以内に入ることも示しました。どの数でも「当てはまる」ように見えるのは、測る場所を選べるからです。

オウムガイやヒマワリは黄金比なの？

オウムガイの殻は、黄金比の例としてよく写真に使われます。しかし、1999年に数学者クレメント・ファルボ氏がカリフォルニア科学アカデミーの殻を測ると、比は1.24から1.43でした。2018年にクリストファー・バートレット氏がスミソニアン協会の80個を測ったときも、平均は1.310です。どちらも1.618には届いていません。

いっぽう、植物には黄金比と関わりの深い例があります。円周を黄金比で2つに分けたときの小さいほうの角、約137.5度の「黄金角」です。らせん状に葉や種をつける植物では、この角度に近いずれがよく見られます。ヒマワリの種の並びでは、この角度が種を隙間なく詰める助けになると研究されています。

ただし、こちらも例外があります。2016年に発表された市民参加の研究では、657個のヒマワリを集め、信頼できるデータの中で768のらせんの数を数えました。フィボナッチ数だったのは565です。残りには、フィボナッチ数に近いだけの物や、当てはまらない物もありました。

身近な長方形は黄金比なの？

「クレジットカードは黄金比」という話もよく聞きます。実際に、身近な長方形の比を計算してみます。

カードは1.586で、黄金比とは約2％ずれます。A4の紙は黄金比ではなく√2で、半分に切っても同じ形になるように決められた比です。この性質の利点は、1786年にドイツの科学者リヒテンベルクが手紙で書き残しています。

黄金比を意図して使った例もあります。建築家ル・コルビュジエは、建物の寸法を決める独自の体系「モデュロール」に黄金比をはっきり取り入れました。黄金比が本当に使われているのは、こうして作り手がわざと選んだ場合です。

まとめ

黄金比は、約2300年前の定義から一度も動いていない正確な数です。フィボナッチ数列との関係も、黄金角の性質も証明されています。いっぽう「人がもっとも美しいと感じる」という話は、ヘーゲ氏の追試で支持されず、神殿やオウムガイの例も測り直すと外れます。

1.6前後の数字を見かけたら、どこから、どこまでを測った値なのか確かめてみてください。手元のカードを定規で測るだけでも、85.60÷53.98が1.618にならないことを確かめられます。

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