科学

1とその数でしか割れない、素数という不思議

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素数とは、どんな数？

素数とは、1より大きい整数のうち、1とその数自身でしか割り切れない数です。6は2でも3でも割れるので素数ではありません。7は1と7でしか割れないので素数です。素数でない2以上の整数は「合成数」と呼ばれます。

偶数の素数は2だけです。ほかの偶数はどれも2で割れるからです。そして素数は、数が大きくなるほどまばらになっていきます。

この減り方には目安があります。ある数xまでの素数の個数は、およそ「x÷xの自然対数」になる、というのが素数定理です。18世紀の終わりにガウスとルジャンドルが予想し、1896年にアダマールとド・ラ・ヴァレ・プーサンがそれぞれ証明しました。

100万の自然対数は約13.8なので、100万までの素数は約7万2000個と見積もれます。実際の7万8498個より8％ほど少ないものの、桁はぴたりと合います。

なぜ1は素数に入らないの？

理由は「2以上の整数は、素数のかけ算に1通りだけ分解できる」という決まりを守るためです。これを算術の基本定理といいます。12なら2×2×3で、かける順番を除けば、これ以外の分解はありません。

もし1が素数なら、6は2×3とも1×2×3とも1×1×2×3とも書けます。分解の仕方が無限に増え、「1通り」が成り立たなくなります。

ただし、1を外す決まりが定着したのは意外に最近です。古代ギリシャでは、1はそもそも数として扱われないことが多くありました。18世紀半ばには、ゴールドバッハがオイラーへの手紙で1を素数に数えています。

1914年に出たレーマーの「1000万までの素数表」にも1が入っていました。1を含む素数表は、1956年になっても出版されています。20世紀の初めごろから、1は素数とは別の「単数」として扱う考え方が広まりました。

素数はどうやって見つけるの？

古典的な方法が「エラトステネスのふるい」です。エラトステネスは紀元前276年ごろに生まれたギリシャの学者です。アレクサンドリアの図書館長を務め、地球の大きさを測ったことでも知られています。手順は次のとおりです。

1. 2から順に、調べたい範囲の数を並べる
2. 2を残して、2の倍数をすべて消す
3. 残った中で次に小さい3を残し、3の倍数を消す
4. 次に残っている5、7と、同じことを繰り返す

消し残った数が素数の一覧です。範囲の平方根までの素数で消せば終わるので、120までなら7の倍数を消した時点で完了します。

もし1を素数に入れると、最初に「1の倍数」をすべて消すことになり、1しか残りません。ここにも、1を素数から外す理由が見えます。

素数はどこまでも続くの？

小さな例で確かめられます。2×3×5に1を足すと31で、31はそれ自体が素数です。2×3×5×7×11×13に1を足した30031は、59×509と分解できます。

新しくできた数が素数とは限りません。それでも、最初のリストにない素数（ここでは59と509）がどの場合でも顔を出します。証明の要点はここにあります。

いちばん大きい素数はいくつ？

素数に終わりがない以上、「最大の素数」は存在しません。あるのは「これまでに見つかった最大の素数」です。

現在の記録は、2024年10月12日に見つかった「2の136279841乗から1を引いた数」です。10進法で書くと4102万4320桁になり、それまでの記録より1600万桁以上多くなりました。見つけたのは、アメリカ・カリフォルニア州のルーク・デュラントさんです。24のデータセンター地域、17か国にまたがるGPUを動員しました。

この形の素数は、350年以上前に研究したフランスの修道士マラン・メルセンヌにちなんで「メルセンヌ素数」と呼ばれます。知られているのは52個だけです。

探索の中心は、1996年に始まった共同計算プロジェクトGIMPSです。これまでは家庭のパソコンが記録を出してきましたが、GIMPSは今回の発見で「パソコンが巨大な素数を見つけてきた28年」が終わったと発表しました。新しい素数の発見者には3000ドルが贈られます。1億桁の素数を最初に見つけた人には、電子フロンティア財団（EFF）が15万ドルを用意しています。

素数は何の役に立つの？

身近なところでは、インターネットの通信を守る暗号です。2つの大きな素数をかけるのは一瞬でも、積から元の素数を突き止めるのは、桁が増えるほど難しくなります。広く使われてきたRSA暗号は、この一方通行の性質を利用しています。

弱点は、十分な性能の量子コンピュータです。日本の暗号評価プロジェクトCRYPTRECは2020年に、2048ビット（10進で約600桁）の数を素因数分解するには、誤りのない理想的な環境でも4098量子ビットが必要だと見積もりました。そのうえで、近い将来に解かれる可能性は低いと評価しています。

それでも備えは始まっています。アメリカ国立標準技術研究所（NIST）は2024年8月、量子コンピュータに強い新しい暗号の標準を3つ公開しました。RSAのように量子コンピュータに弱い方式は、2035年までに標準から外す計画です。

まだ解けていない謎はある？

3と5、11と13のように差が2の素数の組を、双子素数といいます。これが無限にあるかは、まだ証明されていません。1849年にはフランスのド・ポリニャックが、より一般的な形でこの予想を述べています。

2013年、張益唐（チャン・イータン）さんが「差が7000万未満のある数になる素数の組は、無限にある」ことを示しました。1年後には、ほかの数学者たちの研究で上限が246まで縮みます。2まで縮めば予想は解決しますが、未証明の仮説を認めても6までしか縮まらないとされています。

素数全体の並び方にも、大きな謎があります。1859年にリーマンが論文で示した「リーマン予想」は、素数の現れ方と平均とのズレに関わる問題です。アメリカのクレイ数学研究所は2000年に7つの「ミレニアム懸賞問題」を発表し、1問ごとに100万ドルの賞金をかけました。リーマン予想はそのひとつで、いまも解かれていません。

まとめ

素数は、割り算だけで定義できる数です。1を外すのは分解を1通りにするためで、その決まりが定着したのは20世紀に入ってからでした。数が大きくなるほど素数は減っていきますが、ユークリッドの証明どおり尽きることはありません。

最大の記録は4102万4320桁、双子素数の差の上限は246、そしてリーマン予想は未解決のままです。手始めに、100までの数でエラトステネスのふるいを試してみてください。25個の素数が残れば正解です。

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